Prezado, bom dia. Apenas para atualizar: O Supremo Tribunal Federal declarou a inconstitucionalidade do § 4º, do art. 791-A, da CLT no julgamento da ADI nº 5766 (Res. 672/2020/STF), pelo que não há se falar em condenação do Recorrente em pagar honorários ao advogado da ré na hipótese.
O resultado do julgamento foi assim proclamado:
Decisão: O Tribunal, por maioria, julgou parcialmente procedente o pedido formulado na ação direta, para declarar inconstitucionais os arts. 790-B, caput e § 4º, e 791-A, § 4º, da Consolidação das Leis do Trabalho ( CLT), vencidos, em parte, os Ministros Roberto Barroso (Relator), Luiz Fux (Presidente), Nunes Marques e Gilmar Mendes. Por maioria, julgou improcedente a ação no tocante ao art. 844, § 2º, da CLT, declarando-o constitucional, vencidos os Ministros Edson Fachin, Ricardo Lewandowski e Rosa Weber. Redigirá o acórdão o Ministro Alexandre de Moraes. Plenário, 20.10.2021 (Sessão realizada por videoconferência - Resolução 672/2020/STF). (ADI nº 5766)

Prezado Thiago,
Segundo a redação do art. 878, da CLT, a parte assistida por advogado deve requerer a execução nos próprios autos (arts. 876 e 877, da CLT). A fase de execução é apenas uma nova fase do mesmo processo, iniciada a requerimento da parte (assistida por advogado) ou de ofício pelo juízo (caso a parte não tenha advogado -"jus postulandi"ou em caso de contribuições sociais - art. 876, parágrafo único da CLT). Espero ter ajudado.